筑波大学
2014年 理系 第3問
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![関数f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}をx>0で考える.y=f(x)のグラフの点(a,f(a))における接線をℓ_aとし,ℓ_aとy軸との交点を(0,Y(a))とする.以下の問いに答えよ.ただし,実数kに対して\lim_{t→∞}t^ke^{-t}=0であることは証明なしで用いてよい.(1)Y(a)がとりうる値の範囲を求めよ.(2)0<a<bであるa,bに対して,ℓ_aとℓ_bがx軸上で交わるとき,aのとりうる値の範囲を求め,bをaで表せ.(3)(2)のa,bに対して,Z(a)=Y(a)-Y(b)とおく.\lim_{a→+0}Z(a)および\lim_{a→+0}\frac{Z´(a)}{a}を求めよ.](./thumb/86/1824/2014_3.png)
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関数$f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$を$x>0$で考える.$y=f(x)$のグラフの点$(a,\ f(a))$における接線を$\ell_a$とし,$\ell_a$と$y$軸との交点を$(0,\ Y(a))$とする.以下の問いに答えよ.ただし,実数$k$に対して$\displaystyle \lim_{t \to \infty}t^ke^{-t}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(1) $Y(a)$がとりうる値の範囲を求めよ.
(2) $0<a<b$である$a,\ b$に対して,$\ell_a$と$\ell_b$が$x$軸上で交わるとき,$a$のとりうる値の範囲を求め,$b$を$a$で表せ.
(3) $(2)$の$a,\ b$に対して,$Z(a)=Y(a)-Y(b)$とおく.$\displaystyle \lim_{a \to +0}Z(a)$および$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{Z^\prime(a)}{a}$を求めよ.
(1) $Y(a)$がとりうる値の範囲を求めよ.
(2) $0<a<b$である$a,\ b$に対して,$\ell_a$と$\ell_b$が$x$軸上で交わるとき,$a$のとりうる値の範囲を求め,$b$を$a$で表せ.
(3) $(2)$の$a,\ b$に対して,$Z(a)=Y(a)-Y(b)$とおく.$\displaystyle \lim_{a \to +0}Z(a)$および$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{Z^\prime(a)}{a}$を求めよ.
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