鳥取大学
2014年 医(医) 第4問
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![a,bを正の実数とする.xy平面内の楕円C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1上の点PにおけるCの接線をℓとする.Pを媒介変数表示によりP(acost,bsint)(0≦t<2π)とするとき,次の問いに答えよ.(1)直線ℓの方程式を求めよ.(2)tが0<t<π/2の範囲にあるとき,直線ℓに直交し,楕円C上の点Q(acosθ,bsinθ)(0<θ<π)でCに接する直線をmとする.接点Qの座標をa,b,tを用いて表し,直線mの方程式を求めよ.(3)tが0<t<π/2の範囲にあるとき,直線ℓと(2)で求めた直線mとの交点をRとする.線分ORの長さを求めよ.ただしOは原点とする.](./thumb/608/2732/2014_4.png)
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$a,\ b$を正の実数とする.$xy$平面内の楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする.$\mathrm{P}$を媒介変数表示により$\mathrm{P}(a \cos t,\ b \sin t) \ \ (0 \leqq t<2\pi)$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) $t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき,直線$\ell$に直交し,楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ \ \ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする.接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し,直線$m$の方程式を求めよ.
(3) $t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき,直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ.ただし$\mathrm{O}$は原点とする.
(1) 直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) $t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき,直線$\ell$に直交し,楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ \ \ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする.接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し,直線$m$の方程式を求めよ.
(3) $t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき,直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ.ただし$\mathrm{O}$は原点とする.
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