富山大学
2015年 医学部 第3問
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「表が出る確率が$p \ \ (0<p<1)$,裏が出る確率が$1-p$のコインを投げ,数直線上の点$\mathrm{A}$を次の規則(ア),(イ)にしたがって動かす」という操作を繰り返し行う.ただし,点$\mathrm{A}$は最初は原点にあるものとする.
[(ア)] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$のいずれかにあるときには,コインを投げて表が出れば点$\mathrm{A}$を$+2$だけ移動させ,裏が出れば点$\mathrm{A}$を$-1$だけ移動させる. [(イ)] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$以外にあるときには,コインを投げて表が出ても裏が出ても点$\mathrm{A}$を移動させない.
このような操作を$n$回行った後の点$\mathrm{A}$の座標を$x_n$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 上の操作を$3$回繰り返した後,$x_1 \neq 0$かつ$x_2 \neq 0$かつ$x_3 \neq 0$となる確率を求めよ.
(2) $k$を自然数とする.$x_{3k}=0$となる確率,$x_{3k+1}=0$となる確率,$x_{3k+2}=0$となる確率をそれぞれ求めよ.
(3) $k$を自然数とする.$x_{3k-2} \neq x_{3k-1}$かつ$x_{3k-1}=x_{3k}$となる確率を求めよ.
[(ア)] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$のいずれかにあるときには,コインを投げて表が出れば点$\mathrm{A}$を$+2$だけ移動させ,裏が出れば点$\mathrm{A}$を$-1$だけ移動させる. [(イ)] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$以外にあるときには,コインを投げて表が出ても裏が出ても点$\mathrm{A}$を移動させない.
このような操作を$n$回行った後の点$\mathrm{A}$の座標を$x_n$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 上の操作を$3$回繰り返した後,$x_1 \neq 0$かつ$x_2 \neq 0$かつ$x_3 \neq 0$となる確率を求めよ.
(2) $k$を自然数とする.$x_{3k}=0$となる確率,$x_{3k+1}=0$となる確率,$x_{3k+2}=0$となる確率をそれぞれ求めよ.
(3) $k$を自然数とする.$x_{3k-2} \neq x_{3k-1}$かつ$x_{3k-1}=x_{3k}$となる確率を求めよ.
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