東京理科大学
2012年 理(数・物・化) 第2問
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自然数$n$に対して,$3$次曲線$C_n:y=x(x-n)(x-n-1)$を考え,原点$\mathrm{O}$を通る$C_n$の接線で,接点が原点以外のものを$\ell_n$とする.また,$C_n$の原点における接線と$C_n$で囲まれる部分の面積を$S_n$とし,$\ell_n$と$C_n$で囲まれる部分の面積を$T_n$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\ell_n$の方程式を求めよ.
(2) $S_n,\ T_n$を求め,さらに,$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}$を求めよ.
(3) $\ell_1$と平行な$C_1$の接線で,$\ell_1$と異なるものを$\ell^\prime$とする.$\ell^\prime$の方程式を求めよ.
(4) $\ell^\prime$は$(3)$におけるとおりとする.次の$4$直線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ. \begin{itemize}
$\ell_1$
$\ell^\prime$
$\ell_1$が$C_1$と接する点を通り,$y$軸に平行な直線
$\ell^\prime$が$C_1$と接する点を通り,$y$軸に平行な直線 \end{itemize}
(1) $\ell_n$の方程式を求めよ.
(2) $S_n,\ T_n$を求め,さらに,$\displaystyle \frac{T_n}{S_n}$を求めよ.
(3) $\ell_1$と平行な$C_1$の接線で,$\ell_1$と異なるものを$\ell^\prime$とする.$\ell^\prime$の方程式を求めよ.
(4) $\ell^\prime$は$(3)$におけるとおりとする.次の$4$直線で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ. \begin{itemize}
$\ell_1$
$\ell^\prime$
$\ell_1$が$C_1$と接する点を通り,$y$軸に平行な直線
$\ell^\prime$が$C_1$と接する点を通り,$y$軸に平行な直線 \end{itemize}
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