福井大学
2012年 医学部 第4問
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![行列A=(\begin{array}{cc}2&-3\3&2\end{array})で表される1次変換をfとする.fによって,点P_0(1,0)が移る点をP_1(x_1,y_1),正の整数nに対して点P_n(x_n,y_n)が移る点をP_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})とする.原点をOとして,以下の問いに答えよ.(1)cos∠P_nOP_{n+1}の値を求めよ.(2)2以上の整数nで,直線OP_nが線分P_0P_1と交わる最小のnを求めよ.(3)iを虚数単位とする.0でない整数nに対して,実数a_n,b_nを(2+3i)^n=a_n+b_niにより定める.このとき次の等式A^n=(\begin{array}{cc}a_n&-b_n\b_n&a_n\end{array})が0でないすべての整数nに対して成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数mに対しA^{-m}=(A^m)^{-1}とする.](./thumb/366/2546/2012_4.png)
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -3 \\
3 & 2
\end{array} \right)$で表される1次変換を$f$とする.$f$によって,点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$が移る点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$,正の整数$n$に対して点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が移る点を$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする.原点を$\mathrm{O}$として,以下の問いに答えよ.
(1) $\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ.
(2) 2以上の整数$n$で,直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ.
(3) $i$を虚数単位とする.0でない整数$n$に対して,実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める.このとき次の等式 \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & -b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする.
(1) $\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ.
(2) 2以上の整数$n$で,直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ.
(3) $i$を虚数単位とする.0でない整数$n$に対して,実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める.このとき次の等式 \[ A^n=\left( \begin{array}{cc} a_n & -b_n \\ b_n & a_n \end{array} \right) \] が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ.ただし,正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする.
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