新潟大学
2014年 理系 第5問
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![自然数nに対して,a_n=∫_0^1\frac{x^2+(-x^2)^{n+1}}{1+x^2}dxとおく.このとき,次の問いに答えよ.(1)自然数nに対して,不等式|∫_0^1\frac{x^2|{1+x^2}dx-a_n}≦\frac{1}{2n+3}が成り立つことを示せ.(2)定積分∫_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dxを求めよ.(3)自然数nに対して,a_n=Σ_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}となることを示せ.(4)極限値\lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}を求めよ.](./thumb/337/2371/2014_5.png)
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自然数$n$に対して,$\displaystyle a_n=\int_0^1 \frac{x^2+(-x^2)^{n+1}}{1+x^2} \, dx$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 自然数$n$に対して,不等式 \[ |\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2|{1+x^2} \, dx-a_n} \leqq \frac{1}{2n+3} \] が成り立つことを示せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$を求めよ.
(3) 自然数$n$に対して,$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$となることを示せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$を求めよ.
(1) 自然数$n$に対して,不等式 \[ |\int_0^1 \displaystyle\frac{x^2|{1+x^2} \, dx-a_n} \leqq \frac{1}{2n+3} \] が成り立つことを示せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$を求めよ.
(3) 自然数$n$に対して,$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$となることを示せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1}$を求めよ.
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