岐阜薬科大学
2010年 薬学部 第1問
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次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\},\ \{r_n\}$がある．
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2) 円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3) 円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．
$p_1=2,\ p_{n+1}=2p_n,$
$q_1=3,\ q_{n+1}=q_n+p_n,$
$r_1=4,\ r_{n+1}=2r_n-q_n+p_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
また，点$\mathrm{C}_n(p_n,\ q_n)$を中心とし，半径が$r_n$の円を$O_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 数列$\{q_n\},\ \{r_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2) 円$O_n$は$x$軸と$2$点で交わることを示せ．
(3) 円$O_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \cos \angle \mathrm{A}_n \mathrm{C}_n \mathrm{B}_n$の値を求めよ．
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