$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{OH}_1$とする．次に，点$\mathrm{H}_1$から辺$\mathrm{OA}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$，点$\mathrm{H}_2$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3$，点$\mathrm{H}_3$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_3 \mathrm{H}_4$とする．以下，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上に，この順で垂線を引くことを繰り返し，点$\mathrm{H}_n$を決め，線分$\mathrm{H}_{n-1} \mathrm{H}_n$の長さを$a_n \ \ (n \geqq 2)$とする．$a_1=\mathrm{OH}_1$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2) $a_n$を$n$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．