岐阜大学
2011年 理系 第5問
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$a,\ b,\ c,\ d$を実数の定数とする．座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(5,\ 2)$に移す1次変換を表す行列を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とする．以下の問に答えよ．
(1) $A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ．
(2) 次の式を満たす$A$を求めよ． \[ A^2=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{25}{4} & 0 \\ \displaystyle\frac{5}{2} & 0 \end{array} \right) \]
(3) $n$を自然数とする．(2)で求めた$A$について \[ -\frac{2}{5}A+\left( -\frac{2}{5} \right)^2A^2+\left( -\frac{2}{5}\right)^3A^3+\cdots +\left( -\frac{2}{5} \right)^n A^n \] を求めよ．
(1) $A$が逆行列をもつための必要十分条件を$a$と$c$を用いて表せ．
(2) 次の式を満たす$A$を求めよ． \[ A^2=\left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{25}{4} & 0 \\ \displaystyle\frac{5}{2} & 0 \end{array} \right) \]
(3) $n$を自然数とする．(2)で求めた$A$について \[ -\frac{2}{5}A+\left( -\frac{2}{5} \right)^2A^2+\left( -\frac{2}{5}\right)^3A^3+\cdots +\left( -\frac{2}{5} \right)^n A^n \] を求めよ．
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