岐阜大学
2010年 理系 第5問
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![行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)に関する以下の問に答えよ．E=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr)，O=\biggl(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\biggr)とおく．(1)A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=Oを証明せよ．(2)a,b,c,dが有理数のとき，A^3=5Eは成り立たないことを証明せよ．\sqrt[3]{5}は無理数であることを使ってよい．(3)a,b,c,dが実数のとき，A^6=-Eを満たすAのa+dとad-bcの組(a+d,ad-bc)をすべて求めよ．その各々の組に対し，それを与えるAの例を1つずつ記せ．](./thumb/385/2485/2010_5.png)
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に関する以下の問に答えよ．$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$，$O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とおく．
(1) $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ．
(2) $a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき，$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ．$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい．
(3) $a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき，$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ．その各々の組に対し，それを与える$A$の例を1つずつ記せ．
(1) $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ．
(2) $a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき，$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ．$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい．
(3) $a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき，$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ．その各々の組に対し，それを与える$A$の例を1つずつ記せ．
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