次の問に答えよ．
(1) $a,\ b>0$とする．このとき \[ \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \] であることを証明せよ．また，等号が成立するのは$a=b$の場合だけであることを示せ．
(2) $a,\ b,\ c>0$とする．このとき \[ (a+b)(b+c)(c+a) \geqq 8abc \] であることを証明せよ．また，等号が成立するのはどのような場合か述べよ．
(3) $\alpha,\ \beta,\ \gamma$を三角形の$3$辺の長さとする．このとき \[ \alpha\beta\gamma \geqq (-\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta+\gamma)(\alpha+\beta-\gamma) \] であることを証明せよ．また，等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ．
(4) $\alpha,\ \beta,\ \gamma$を三角形の$3$辺の長さとする．このとき \[ \frac{\alpha}{-\alpha+\beta+\gamma}+\frac{\beta}{\alpha-\beta+\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha+\beta-\gamma} \geqq 3 \] であることを証明せよ．また，等号が成立するのは正三角形の場合だけであることを示せ．