山口大学
2012年 理(数理科学)・医 第4問
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![xy平面において,直線y=8の上に点P_1,P_2,P_3,P_4,P_5が,直線y=0の上に点Q_1,Q_2,Q_3,Q_4,Q_5が,それぞれx座標の小さい順に並んでいる.これらをy=8上の点とy=0上の点ひとつずつからなる5つの組に分け,それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える.下図はその一例である.このとき,次の問いに答えなさい.(プレビューでは図は省略します)(1)3本の線分P_iQ_n,P_jQ_m,P_kQ_lが1点Rで交わるとき,\frac{P_iP_j・Q_lQ_m}{P_jP_k・Q_mQ_n}を求めなさい.ただし,i<j<kかつl<m<nであるとする.(2)P_i,Q_i(1≦i≦5)のx座標を2^iとするとき,どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい.(3)P_i,Q_i(1≦i≦5)のx座標を2^iとするとき,交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい.](./thumb/650/2783/2012_4.png)
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$xy$平面において,直線$y=8$の上に点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$,$\mathrm{P}_5$が,直線$y=0$の上に点$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{Q}_3$,$\mathrm{Q}_4$,$\mathrm{Q}_5$が,それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる.これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる5つの組に分け,それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える.下図はその一例である.このとき,次の問いに答えなさい.
\imgc{650_2779_2012_2}
(1) 3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$,$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$,$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい.ただし,$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする.
(2) $\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき,どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい.
(3) $\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき,交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい.
(1) 3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$,$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$,$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい.ただし,$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする.
(2) $\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき,どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい.
(3) $\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき,交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい.
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