お茶の水女子大学
2015年 理（数学科） 第3問
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次の問いに答えよ．
(1) 不等式 \[ \sqrt{n} \sqrt{a^2+b^2} \leqq a+b \leqq \sqrt{m} \sqrt{a^2+b^2} \] がすべての負でない実数$a \geqq 0$，$b \geqq 0$に対して成り立つような自然数$m$と$n$の範囲を求めよ．
(2) $m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とする．不等式 \[ \frac{m^{n+1}-1}{n+1}>\frac{m^n-1}{n} \] が成り立つことを示せ．
(3) $m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とするとき，次の不等式 \[ \comb{mn}{n} \geqq m^n>\sum_{i=0}^{n-1}m^i \] が成り立つことを示せ．
(1) 不等式 \[ \sqrt{n} \sqrt{a^2+b^2} \leqq a+b \leqq \sqrt{m} \sqrt{a^2+b^2} \] がすべての負でない実数$a \geqq 0$，$b \geqq 0$に対して成り立つような自然数$m$と$n$の範囲を求めよ．
(2) $m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とする．不等式 \[ \frac{m^{n+1}-1}{n+1}>\frac{m^n-1}{n} \] が成り立つことを示せ．
(3) $m$を$2$以上の自然数，$n$を自然数とするとき，次の不等式 \[ \comb{mn}{n} \geqq m^n>\sum_{i=0}^{n-1}m^i \] が成り立つことを示せ．
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