東北大学
2016年 理系 第4問
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多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める.ただし,$i$は虚数単位とする.以下の問いに答えよ.
(1) $P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき,係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ.
(2) $0<\theta<\pi$に対して, \[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \] が成り立つことを示せ.
(3) $(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて,多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える.$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として,$k=1,\ 2,\ 3$について \[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \] とおく.このとき,$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し,$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ.
(1) $P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき,係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ.
(2) $0<\theta<\pi$に対して, \[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \] が成り立つことを示せ.
(3) $(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて,多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える.$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として,$k=1,\ 2,\ 3$について \[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \] とおく.このとき,$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し,$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ.
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