岡山大学
2010年 理系 第3問
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原点を中心とする半径1の円を$C_1$とし,原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C_2$とする.$C_1$上に点P$_1(\cos \theta,\ \sin \theta)$があり,また,$C_2$上に点P$_2 \displaystyle (\frac{1}{2} \cos 3\theta,\ \frac{1}{2} \sin 3\theta)$がある.ただし,$\displaystyle 0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}$であるとする.線分P$_1$P$_2$の中点をQとし,点Qの原点からの距離を$r(\theta)$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ.
(2) 点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする.このとき,$\alpha$および定積分 \[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \] を求めよ.
(1) 点Qの$x$座標の取りうる範囲を求めよ.
(2) 点Qが$y$軸上にあるときの$\theta$の値を$\alpha$とする.このとき,$\alpha$および定積分 \[ \int_0^\alpha \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \] を求めよ.
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