宇都宮大学
2014年 文系 第5問
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$\alpha \neq 0$,$\beta \neq 0$として,関数$f_n(x) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=a_1 \sin \alpha x+b_1 \cos \alpha x \\
f_{n+1}(x)=\beta (f_n(x)+{f_n}^\prime(x)) \phantom{\displaystyle\frac{\fbox{}}{2}}
\end{array} \]
と定める.ただし,$a_1$,$b_1$,$\alpha$,$\beta$は実数である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$($a_n,\ b_n$は実数)の形で表されることを示せ.
(2) $(1)$における$a_n,\ b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$について,行列$P$を用いて \[ \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \right) \] と表すとき,行列$P$を求めよ.
(3) $a_1=0$,$b_1=2$,$\alpha=\sqrt{3}$,$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき,$f_{99}(x)$を求めよ.
(1) $f_n(x)$は$f_n(x)=a_n \sin \alpha x+b_n \cos \alpha x$($a_n,\ b_n$は実数)の形で表されることを示せ.
(2) $(1)$における$a_n,\ b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$について,行列$P$を用いて \[ \left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ b_{n} \end{array} \right) \] と表すとき,行列$P$を求めよ.
(3) $a_1=0$,$b_1=2$,$\alpha=\sqrt{3}$,$\displaystyle \beta=\frac{1}{2}$とするとき,$f_{99}(x)$を求めよ.
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