名古屋市立大学
2015年 薬学部 第3問
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![自然数nに対して,0以上の実数を定義域とするxの関数R_n(x)をR_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-Σ_{k=0}^{n-1}(-x^p)^kとする.ただし,pは正の定数である.以下の問いに答えよ.(1)次の不等式を示せ.|∫_0^1R_n(x)dx|<\frac{1}{pn+1}(2)次の等式を示せ.∫_0^1\frac{dx}{1+x^p}=Σ_{k=0}^∞\frac{(-1)^k}{pk+1}(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ.(i)S_1=1-1/2+1/3-1/4+1/5-・・・(ii)S_2=1-1/3+1/5-1/7+1/9-・・・](./thumb/415/2584/2015_3.png)
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自然数$n$に対して,$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする.ただし,$p$は正の定数である.以下の問いに答えよ.
(1) 次の不等式を示せ. \[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2) 次の等式を示せ. \[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3) 以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ.
(ⅰ) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ⅱ) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
(1) 次の不等式を示せ. \[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2) 次の等式を示せ. \[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3) 以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ.
(ⅰ) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ⅱ) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
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