福島県立医科大学
2014年 医学部 第1問
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以下の各問いに答えよ.
(1) $a$は実数とする.極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ.
(2) $\displaystyle \alpha,\ \beta \ \ \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき,$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ.
(3) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき,$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(4) 公正なサイコロを$2$回振り,$1$回目に出た目を$a$,$2$回目に出た目を$b$とする.また,公正なコインを$1$回投げ,表が出たら$c=1$,裏が出たら$c=-1$とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$,$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める.次の問いに答えよ.
(ⅰ) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ.
(ⅲ) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ. [$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする.
(1) $a$は実数とする.極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ.
(2) $\displaystyle \alpha,\ \beta \ \ \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき,$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ.
(3) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき,$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(4) 公正なサイコロを$2$回振り,$1$回目に出た目を$a$,$2$回目に出た目を$b$とする.また,公正なコインを$1$回投げ,表が出たら$c=1$,裏が出たら$c=-1$とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$,$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める.次の問いに答えよ.
(ⅰ) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ.
(ⅲ) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ. [$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする.
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コメント(3件)
2015-07-29 11:48:28
作りました。最後の確率はやっかいですね(汗)。 |
2015-07-25 00:55:26
解答が知りたい |
2015-05-01 22:46:00
解答が見たい |
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