宮城教育大学
2016年 教育学部(中等数学) 第3問
3
![2つの数列{θ_n},{a_n}を漸化式θ_1=π/4,θ_{n+1}=\frac{π-θ_n}{2}(n=1,2,3,・・・),a_1=√2,a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|}(n=1,2,3,・・・)によって定義するとき,次の問いに答えよ.(1)数列{θ_n}の一般項を求めよ.また0<θ_n<π/2(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.(2)cosθ_{n+1}=\sqrt{\frac{1-cosθ_n}{2}}(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.(3)2cosθ_n=a_n(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.(4)\lim_{n→∞}a_nの値を求めよ.](./thumb/53/0/2016_3.png)
3
$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき,次の問いに答えよ.
(1) 数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ.また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(3) $2 \cos \theta_n=a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ.
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき,次の問いに答えよ.
(1) 数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ.また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(2) $\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(3) $2 \cos \theta_n=a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ.
(4) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ.
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