コインを投げ，点$\mathrm{P}$を次の規則によって正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上を動かす．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{B}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{C}$に動かす．$\mathrm{B}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{C}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{A}$に動かす．$\mathrm{C}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{A}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{B}$に動かす．
はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとし，コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$，$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$，$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする．
(1) $a_1=0$，$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle c_1=\frac{1}{2}$である．$n=2,\ 3,\ 4$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
(2) 次の問いに答えよ．
(ⅰ) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(ⅱ) $b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(ⅲ) $c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(3) $b_n=c_n$であることを示せ．
(4) $a_n$を求めよ．