学習院大学
2012年 理学部 第2問
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関係式
\[ a_1=0,\quad \frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_n}=2n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．
(1) 一般項$a_n$を求めよ．
(2) $k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して \[ b_k=\sqrt{\frac{k+1}{k}} (1-\sqrt{a_{k+1}}) \] とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k<\sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．
(1) 一般項$a_n$を求めよ．
(2) $k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して \[ b_k=\sqrt{\frac{k+1}{k}} (1-\sqrt{a_{k+1}}) \] とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k<\sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．
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