近畿大学
2015年 理系 第3問
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![座標平面上に曲線C:y=1/x(x-t)(x-t-1)(ただしx>0,t>0)がある.C上の点P(t,0)における接線をℓ_1,点Q(t+1,0)における接線をℓ_2とし,ℓ_1とℓ_2の交点をRとする.(1)t=1/5の場合について考える.ℓ_1の傾きは[ア][イ],ℓ_2の傾きは\frac{[ウ]}{[エ]}であり,点Rのy座標は-\frac{[オ]}{[カ]}である.また,ℓ_1,ℓ_2およびCによって囲まれた部分の面積は\frac{[キ]}{[ク][ケ]}log[コ]-\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}である.(2)ℓ_1とℓ_2が直交するのはt=\frac{[ソ][タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツ]}のときである.また,△PQRが二等辺三角形となるのはt=\frac{[テ]}{[ト]}のときである.](./thumb/541/2297/2015_3.png)
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座標平面上に曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x}(x-t)(x-t-1)$(ただし$x>0,\ t>0$)がある.$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ 0)$における接線を$\ell_1$,点$\mathrm{Q}(t+1,\ 0)$における接線を$\ell_2$とし,$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする.
(1) $\displaystyle t=\frac{1}{5}$の場合について考える.$\ell_1$の傾きは$\fbox{ア}\fbox{イ}$,$\ell_2$の傾きは$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$であり,点$\mathrm{R}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$である.また,$\ell_1$,$\ell_2$および$C$によって囲まれた部分の面積は \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}\fbox{ケ}} \log \fbox{コ}-\frac{\fbox{サ}\fbox{シ}}{\fbox{ス}\fbox{セ}} \] である.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{ソ}\fbox{タ}+\sqrt{\fbox{チ}}}{\fbox{ツ}}$のときである.また,$\triangle \mathrm{PQR}$が二等辺三角形となるのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}$のときである.
(1) $\displaystyle t=\frac{1}{5}$の場合について考える.$\ell_1$の傾きは$\fbox{ア}\fbox{イ}$,$\ell_2$の傾きは$\displaystyle \frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}}$であり,点$\mathrm{R}$の$y$座標は$\displaystyle -\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}}$である.また,$\ell_1$,$\ell_2$および$C$によって囲まれた部分の面積は \[ \frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}\fbox{ケ}} \log \fbox{コ}-\frac{\fbox{サ}\fbox{シ}}{\fbox{ス}\fbox{セ}} \] である.
(2) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{ソ}\fbox{タ}+\sqrt{\fbox{チ}}}{\fbox{ツ}}$のときである.また,$\triangle \mathrm{PQR}$が二等辺三角形となるのは$\displaystyle t=\frac{\fbox{テ}}{\fbox{ト}}$のときである.
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