山形大学
2011年 医学部 第2問
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媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする.ただし,$t$は実数全体を動くとする.また,実数$a \ (a \neq 0)$に対して,点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $\ell_a$の方程式を求めよ.
(2) 曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ.ただし,曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる.
(3) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1) $\ell_a$の方程式を求めよ.
(2) 曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ.ただし,曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる.
(3) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ.
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