早稲田大学
2016年 教育 第4問
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![3点(0,0),(1,0),(0,1)を頂点とする三角形をDとする.Dの1辺を選び,その中点を中心としてDを{180}°回転させる.このようにしてDから得られる3個の三角形からなる集合をS_1とする.S_1から一つ三角形を選び,さらにその三角形の1辺を選び,その中点を中心としてその三角形を{180}°回転させる.このようにしてS_1から得られる三角形すべてからなる集合をS_2とする.S_2は7個の三角形からなる集合であり,その中にはDも含まれる.一般に,自然数nに対してS_nまで定義されたとき,S_nから一つ三角形を選び,さらにその三角形の1辺を選び,その中点を中心としてその三角形を{180}°回転させる.このようにしてS_nから得られる三角形すべてからなる集合をS_{n+1}とする.次の問に答えよ.(1)S_3の要素を全て図示せよ.(2)mを自然数とする.S_{2m}から一つ三角形を選び,その頂点それぞれと原点(0,0)との距離の最大値を考える.三角形の選び方をすべて考えたときの,この最大値の最大値d_{2m}を求めよ.](./thumb/304/7/2016_4.png)
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$3$点$(0,\ 0)$,$(1,\ 0)$,$(0,\ 1)$を頂点とする三角形を$\mathrm{D}$とする.$\mathrm{D}$の$1$辺を選び,その中点を中心として$\mathrm{D}$を${180}^\circ$回転させる.このようにして$\mathrm{D}$から得られる$3$個の三角形からなる集合を$S_1$とする.$S_1$から一つ三角形を選び,さらにその三角形の$1$辺を選び,その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる.このようにして$S_1$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_2$とする.$S_2$は$7$個の三角形からなる集合であり,その中には$\mathrm{D}$も含まれる.一般に,自然数$n$に対して$S_n$まで定義されたとき,$S_n$から一つ三角形を選び,さらにその三角形の$1$辺を選び,その中点を中心としてその三角形を${180}^\circ$回転させる.このようにして$S_n$から得られる三角形すべてからなる集合を$S_{n+1}$とする.次の問に答えよ.
(1) $S_3$の要素を全て図示せよ.
(2) $m$を自然数とする.$S_{2m}$から一つ三角形を選び,その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える.三角形の選び方をすべて考えたときの,この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ.
(1) $S_3$の要素を全て図示せよ.
(2) $m$を自然数とする.$S_{2m}$から一つ三角形を選び,その頂点それぞれと原点$(0,\ 0)$との距離の最大値を考える.三角形の選び方をすべて考えたときの,この最大値の最大値$d_{2m}$を求めよ.
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