富山大学
2015年 薬学部 第3問
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次の問いに答えよ.
(1) 関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり,区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする.さらに,区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする.$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$,$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき,区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ.
(2) $n$を$2$以上の自然数とするとき,$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について \[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \] が成り立つことを示せ.
(3) $n$を$2$以上の自然数とするとき,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
(1) 関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり,区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする.さらに,区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする.$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$,$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき,区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ.
(2) $n$を$2$以上の自然数とするとき,$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について \[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \] が成り立つことを示せ.
(3) $n$を$2$以上の自然数とするとき,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
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