東京医科大学
2014年 医学部 第2問
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次の$\fbox{}$を埋めよ.
(1) $2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$,$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える.$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき,内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$,最小値を$m$とすれば \[ M=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}},\quad m=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \] である.
(2) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める.このとき$\{a_n\}$は収束し,$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば \[ \alpha=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] である.さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて,数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し,$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば \[ \beta=\frac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}} \] である.
(1) $2$つのベクトル$\overrightarrow{p}=(3 \cos t,\ 2 \sin t)$,$\displaystyle \overrightarrow{q}=\left( 3 \cos \left( t+\frac{\pi}{3} \right),\ 2 \sin \left( t+\frac{\pi}{3} \right) \right)$を考える.$t$が$0 \leqq t \leqq \pi$の範囲を動くとき,内積$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}$の最大値を$M$,最小値を$m$とすれば \[ M=\frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウ}},\quad m=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \] である.
(2) 数列$\{a_n\}$を$\displaystyle a_n=\frac{1}{n^5} \sum_{k=1}^n k^4 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定める.このとき$\{a_n\}$は収束し,$\displaystyle \alpha=\lim_{n \to \infty}a_n$とすれば \[ \alpha=\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] である.さらにこれらの$a_n,\ \alpha$を用いて,数列$\{b_n\}$を$b_n=(\alpha-a_n)n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定めれば$\{b_n\}$も収束し,$\displaystyle \beta=\lim_{n \to \infty}b_n$とすれば \[ \beta=\frac{\fbox{クケ}}{\fbox{コ}} \] である.
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