産業医科大学
2012年 医学部 第1問
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空欄にあてはまる適切な数,式,記号などを記入しなさい.
(1) 実数$x$に対して,$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す.例えば$[3]=3$,$[3.14]=3$,$[-3.14]=-4$である.実数$x$について,方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$\fbox{}$であり,方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$\fbox{}$である.
(2) $a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき,$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$\fbox{}$である.
(3) 原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である.$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$\fbox{}$または$\fbox{}$である.
(4) 定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$\fbox{}$である.
(5) $123$から$789$までの$3$桁の数から,$1$つを無作為に選び出すとき,同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$\fbox{}$である. 数直線上の点$\mathrm{P}$は,原点$\mathrm{O}$を出発して,次のルールに従って移動するとする.
「$1$つのさいころを振り,$3$以下の目が出たときは右に$1$,$5$以上の目が出たときは左に$1$,それぞれ動く.また,$4$の目が出たときは動かない.点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら,さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる.それ以外のときは,さいころをまた振る.」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の,点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$\fbox{}$である.
(1) 実数$x$に対して,$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す.例えば$[3]=3$,$[3.14]=3$,$[-3.14]=-4$である.実数$x$について,方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$\fbox{}$であり,方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$\fbox{}$である.
(2) $a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき,$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$\fbox{}$である.
(3) 原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である.$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$\fbox{}$または$\fbox{}$である.
(4) 定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$\fbox{}$である.
(5) $123$から$789$までの$3$桁の数から,$1$つを無作為に選び出すとき,同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$\fbox{}$である. 数直線上の点$\mathrm{P}$は,原点$\mathrm{O}$を出発して,次のルールに従って移動するとする.
「$1$つのさいころを振り,$3$以下の目が出たときは右に$1$,$5$以上の目が出たときは左に$1$,それぞれ動く.また,$4$の目が出たときは動かない.点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら,さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる.それ以外のときは,さいころをまた振る.」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の,点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$\fbox{}$である.
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