名古屋市立大学
2015年 医学部 第4問
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空間内の点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を考える.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$はともに長さが$1$で,角度$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$をなす.また点$\mathrm{B}$は$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$を含む平面$\mathrm{H}$上に存在せず,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は,$\overrightarrow{\mathrm{OA}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_1$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}_2} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=c_2$を満たす(ただし$c_1,\ c_2$はいずれも$0$でない実数であるとする).さらにベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=c_1 \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+c_2 \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$のように表され,かつベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$と垂直である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 角度$\theta$を求めよ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ.ただし,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す.
(3) $c_1=c_2=c$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように,空間上に点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$を与える.四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を,$b,\ c$を用いて表せ.
(4) $(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$,$\mathrm{B}$により定まる平面に対し,点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき,垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする.このとき,$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ.
(1) 角度$\theta$を求めよ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2>{c_1}^2+{c_2}^2$が成り立つことを示せ.ただし,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の長さを表す.
(3) $c_1=c_2=c$,$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_1}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_1}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}_2}=c \overrightarrow{\mathrm{OA}_2}$となるように,空間上に点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$を与える.四面体$\mathrm{D}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{CB}$の体積を,$b,\ c$を用いて表せ.
(4) $(3)$の条件の下で$3$点$\mathrm{D}_1$,$\mathrm{D}_2$,$\mathrm{B}$により定まる平面に対し,点$\mathrm{C}$から垂線を引いたとき,垂線と平面の交点を$\mathrm{T}$とする.このとき,$\mathrm{CT}$の長さを$b,\ c$で表せ.
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コメント(1件)
2016-02-14 23:22:29
2015年度 名古屋市立大学 数学 理系 4の解答お願いします。 |
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