名古屋大学
2011年 理系 第2問
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![A_0=\biggl(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\biggr)とする.整数n≧1に対して,次の試行により行列A_{n-1}から行列A_nを定める.「数字の組(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し,その札に書かれている数字の組が(i,i)のとき,A_{n-1}の(i,j)成分に1を加えた行列をA_nとする.」この試行をn回(n=2,3,4,・・・)くり返した後に,A_0,A_1,・・・,A_{n-1}が逆行列をもたずA_nは逆行列をもつ確率をp_nとする.(1)p_2,p_3を求めよ.(2)n-1回(n=2,3,4,・・・)の試行をくり返した後に,A_{n-1}の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率q_{n-1}を求めよ.(3)p_n(n=2,3,4,・・・)を求めよ.](./thumb/411/978/2011_2.png)
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$A_0 = \biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする.整数$n \geqq 1$に対して,次の試行により行列$A_{n-1}$から行列$A_n$を定める.
「数字の組$(1,\ 1)$,$(1,\ 2)$,$(2,\ 1)$,$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し,その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき,$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする.」
この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に,$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする.
(1) $p_2,\ p_3$を求めよ.
(2) $n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に,$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ.
(3) $p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ.
「数字の組$(1,\ 1)$,$(1,\ 2)$,$(2,\ 1)$,$(2,\ 2)$を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し,その札に書かれている数字の組が$(i,\ i)$のとき,$A_{n-1}$の$(i,\ j)$成分に1を加えた行列を$A_n$とする.」
この試行を$n$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$くり返した後に,$A_0,\ A_1,\ \cdots,\ A_{n-1}$が逆行列をもたず$A_n$は逆行列をもつ確率を$p_n$とする.
(1) $p_2,\ p_3$を求めよ.
(2) $n-1$回$(n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$の試行をくり返した後に,$A_{n-1}$の第1行の成分がいずれも正で第2行の成分はいずれも0である確率$q_{n-1}$を求めよ.
(3) $p_n \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ.
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