長崎大学
2016年 医学部 第4問
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![楕円x^2+\frac{y^2}{a^2}=1(a>0)とy軸の交点をA(0,a),B(0,-a)とする.θが-π/2≦θ≦π/2の範囲を動くとき,点P(cosθ,asinθ)はこの楕円上を動く.以下の問いに答えよ.(1)線分APの長さをlとする.X=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)のとき,Y=l^2となる関数をY=f(X)とする.f(X)をXの式で表せ.(2)0<a<1の場合.(1)の関数f(X)の最大値をaを用いて表し,そのときのXの値を求めよ.(3)a=2の場合.(1)の関数f(X)の値が最大となるときの点PをP_1とする.f(X)の最大値とP_1の座標を求めよ.また,点A(0,2)を中心とし点P_1を通る円を,x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ.](./thumb/713/1974/2016_4.png)
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楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{a^2}=1 \ \ (a>0)$と$y$軸の交点を$\mathrm{A}(0,\ a)$,$\mathrm{B}(0,\ -a)$とする.$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ a \sin \theta)$はこの楕円上を動く.以下の問いに答えよ.
(1) 線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする.$\displaystyle X=\sin \theta \ \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする.$f(X)$を$X$の式で表せ.
(2) $0<a<1$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し,そのときの$X$の値を求めよ.
(3) $a=2$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする.$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
(1) 線分$\mathrm{AP}$の長さを$l$とする.$\displaystyle X=\sin \theta \ \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$のとき,$Y=l^2$となる関数を$Y=f(X)$とする.$f(X)$を$X$の式で表せ.
(2) $0<a<1$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の最大値を$a$を用いて表し,そのときの$X$の値を求めよ.
(3) $a=2$の場合.
$(1)$の関数$f(X)$の値が最大となるときの点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}_1$とする.$f(X)$の最大値と$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ.また,点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を中心とし点$\mathrm{P}_1$を通る円を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
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