長崎大学
2016年 経済・水産・環境科学部 第2問
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空間において,$3$点$\mathrm{A}(5,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(4,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$がある.以下の問いに答えよ.
(1) 線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の長さを求めよ.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(3) 原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し,平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき,実数$\ell,\ m$の値を求めよ.
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき,実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ.
(5) 原点$\mathrm{O}$を頂点,四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ.
(1) 線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$の長さを求めよ.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(3) 原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下し,平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき,実数$\ell,\ m$の値を求めよ.
(4) 直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k \overrightarrow{\mathrm{AM}}$とおくとき,実数$k$の値と三角形$\mathrm{HBC}$の面積$T$を求めよ.
(5) 原点$\mathrm{O}$を頂点,四角形$\mathrm{ABHC}$を底面とする四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABHC}$の体積$V$を求めよ.
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