九州工業大学
2016年 工学部 第1問
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![四面体OABCの面はすべて合同であり,OA=5,OB=8,AB=7である.ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとして,次に答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルcおよびベクトルc・ベクトルaを求めよ.(2)3点O,A,Bの定める平面をαとし,α上の点Hを直線CHとαが垂直になるように選ぶ.ベクトルOHをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ.(3)(2)の点Hに対して,線分CHの長さを求めよ.(4)四面体OABCの体積V_1を求めよ.また,辺OCの中点をDとし,さらに辺OB上に点EをAE+EDが最小となるようにとる.このとき,四面体OAEDの体積V_2を求めよ.](./thumb/678/3144/2016_1.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$の面はすべて合同であり,$\mathrm{OA}=5$,$\mathrm{OB}=8$,$\mathrm{AB}=7$である.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$として,次に答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) $3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) $(2)$の点$\mathrm{H}$に対して,線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ.また,辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし,さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる.このとき,四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) $3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし,$\alpha$上の点$\mathrm{H}$を直線$\mathrm{CH}$と$\alpha$が垂直になるように選ぶ.$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(3) $(2)$の点$\mathrm{H}$に対して,線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ.
(4) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V_1$を求めよ.また,辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{D}$とし,さらに辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{E}$を$\mathrm{AE}+\mathrm{ED}$が最小となるようにとる.このとき,四面体$\mathrm{OAED}$の体積$V_2$を求めよ.
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