京都工芸繊維大学
2015年 工芸科学 第2問
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$e$を自然対数の底とする.$xy$平面上で,曲線$y=e^{2x}$の,点$(t,\ e^{2t})$における接線を$\ell_t$とし,点$(s,\ e^{2s})$における接線を$\ell_s$とする.$\ell_s$の傾きが$\ell_t$の傾きの$e$倍に等しいとする.
(1) $\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ.
(2) $\ell_s$を,$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする.$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする.$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ.
(3) $a$を正の実数とする.$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき,$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする.$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ.
(1) $\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ.
(2) $\ell_s$を,$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする.$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする.$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ.
(3) $a$を正の実数とする.$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき,$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする.$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ.
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