茨城大学
2012年 理学部 第2問
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![すべての実数tに対して関数f(t),g(t)をf(t)=e^t-e^{-t},g(t)=e^t+e^{-t}と定義する.ただし,eは自然対数の底とする.次の各問に答えよ.(1)すべてのtに対してg(t)≧2であることを示せ.(2)f(t)は単調増加であることを示せ.(3)x=f(t),s=e^tとするとき,sをxを用いて表せ.(4)x=f(t)の逆関数t=f^{-1}(x)を求めよ.(5)不定積分∫\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}dxをx=f(t)と置換積分して求めよ.\mon座標平面上でtを媒介変数とする曲線x=f(t),y=g(t)を考える.この曲線を,媒介変数tを消去してx,yに関する方程式で表せ.](./thumb/85/2188/2012_2.png)
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すべての実数$t$に対して関数$f(t),\ g(t)$を$f(t)=e^t-e^{-t},\ g(t)=e^t+e^{-t}$と定義する.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の各問に答えよ.
(1) すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ.
(2) $f(t)$は単調増加であることを示せ.
(3) $x=f(t),\ s=e^t$とするとき,$s$を$x$を用いて表せ.
(4) $x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ.
(5) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ. 座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える.この曲線を,媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ.
(1) すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ.
(2) $f(t)$は単調増加であることを示せ.
(3) $x=f(t),\ s=e^t$とするとき,$s$を$x$を用いて表せ.
(4) $x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ.
(5) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ. 座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える.この曲線を,媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ.
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