茨城大学
2016年 理学部 第3問
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複素数平面上で,複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す.$3$点$\mathrm{O}(0)$,$\mathrm{A}(1)$,$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある.ただし,複素数$\beta$の偏角$\theta$は,$0<\theta<\pi$を満たすとする.また,$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする.等式
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき,以下の各問に答えよ.
(1) 複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ.
(2) 複素数$\beta$の絶対値と,偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を,それぞれ$s$と$t$を用いて表せ.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ.
(4) 三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする.このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ.
(1) 複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ.
(2) 複素数$\beta$の絶対値と,偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を,それぞれ$s$と$t$を用いて表せ.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ.
(4) 三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする.このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ.
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