北海道大学
2016年 理系 第4問
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![次の問いに答えよ.(1)次の方程式が異なる3つの0でない実数解をもつことを示せ.x^3+x^2-2x-1=0・・・①(2)方程式①の3つの実数解をs,t,uとし,数列{a_n}をa_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)}(n=1,2,3,・・・)によって定める.このとき,a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.(3)(2)のa_nがすべて整数であることを示せ.](./thumb/5/941/2016_4.png)
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次の問いに答えよ.
(1) 次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ. \[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad \maruichi \]
(2) 方程式$\maruichi$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし,数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める.このとき, \[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ.
(3) $(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ.
(1) 次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ. \[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad \maruichi \]
(2) 方程式$\maruichi$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし,数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める.このとき, \[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ.
(3) $(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ.
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