同志社大学
2014年 文学部・経済学部 第3問
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平面上で鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の外側に,$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABFG}$,$\mathrm{ACDE}$をつくる.ただし,$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|$とする.線分$\mathrm{EG}$の中点を$\mathrm{M}$,点$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$,直線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおき,$|\overrightarrow{a}|=1$,$|\overrightarrow{b}|=t$,$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ.
(3) 直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ.
(5) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ. $\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ.
(3) 直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ.
(5) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ. $\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ.
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