獨協医科大学
2015年 医学部 第5問
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$x>-1$で定義された関数$f(x)$は,等式
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている.
(1) このとき$f(0)=\fbox{アイ}$であり,さらに \[ f^\prime(x)=\frac{x+\fbox{ウ}}{(x+\fbox{エ})^{\mkakko{オ}}} \] である.
(2) これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=\fbox{カ}-\fbox{キ}$である.ただし,$\fbox{カ}$,$\fbox{キ}$には,次の$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと.なお,同じ選択肢を選んでもよいものとする. \[ \nagamaruichi \ \ \log x \quad \nagamaruni \ \ \log (x+1) \quad \nagamarusan \ \ x \log (x+1) \quad \nagamarushi \ \ \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \ \ \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \ \ \frac{x}{x+1} \]
(3) $a>0$とする.関数$g(x)=\log x$について,区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると,$g(a+1)-g(a)=\fbox{ク}$となる実数の定数$c$が区間$\fbox{ケ}$に存在する.これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) \fbox{コ} m$となることがわかる.ただし,$\fbox{ク}$,$\fbox{ケ}$には,次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$~$\nagamarushichi$の中から,$\fbox{コ}$には,選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$~$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと.
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi \ \ c \qquad \nagamaruni \ \ c+1 \qquad \nagamarusan \ \ \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \ \ \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \ \ \log c$
$\nagamaruroku \ \ [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi \ \ (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi \ \ < \qquad \nagamaruni \ \ > \qquad \nagamarusan \ \ =$
(4) さらに \[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-\fbox{サ})(e^x-\fbox{シ}) \] となるので,自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと \[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}} \] である.
(1) このとき$f(0)=\fbox{アイ}$であり,さらに \[ f^\prime(x)=\frac{x+\fbox{ウ}}{(x+\fbox{エ})^{\mkakko{オ}}} \] である.
(2) これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=\fbox{カ}-\fbox{キ}$である.ただし,$\fbox{カ}$,$\fbox{キ}$には,次の$\nagamaruichi$~$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと.なお,同じ選択肢を選んでもよいものとする. \[ \nagamaruichi \ \ \log x \quad \nagamaruni \ \ \log (x+1) \quad \nagamarusan \ \ x \log (x+1) \quad \nagamarushi \ \ \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \ \ \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \ \ \frac{x}{x+1} \]
(3) $a>0$とする.関数$g(x)=\log x$について,区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると,$g(a+1)-g(a)=\fbox{ク}$となる実数の定数$c$が区間$\fbox{ケ}$に存在する.これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) \fbox{コ} m$となることがわかる.ただし,$\fbox{ク}$,$\fbox{ケ}$には,次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$~$\nagamarushichi$の中から,$\fbox{コ}$には,選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$~$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと.
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi \ \ c \qquad \nagamaruni \ \ c+1 \qquad \nagamarusan \ \ \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \ \ \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \ \ \log c$
$\nagamaruroku \ \ [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi \ \ (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi \ \ < \qquad \nagamaruni \ \ > \qquad \nagamarusan \ \ =$
(4) さらに \[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-\fbox{サ})(e^x-\fbox{シ}) \] となるので,自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと \[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{\fbox{スセ}}{\fbox{ソ}} \] である.
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