津田塾大学
2010年 学芸(数学) 第2問
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![一辺の長さが1の正四面体OABCの辺OAをt:1-t(0≦t≦1)に内分する点をPとし,∠BPC=θとする.ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとするとき,次の問いに答えよ.(1)ベクトルPB,ベクトルPCをtとベクトルa,ベクトルb,ベクトルcで表せ.(2)|ベクトルPB|=|ベクトルPC|=\sqrt{t^2-t+1}を示せ.(3)点Pが辺OAを動くとき,cosθの最小値を求めよ.](./thumb/237/2238/2010_2.png)
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一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t \ \ (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする.$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ.
(3) 点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき,$\cos \theta$の最小値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ.
(3) 点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき,$\cos \theta$の最小値を求めよ.
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