東京都市大学
2013年 工(機シ・医工・化学)・知識工 第3問
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![1辺の長さが2の正四面体OABCについて,辺OAを3:1に内分する点をP,辺OBを1:3に内分する点をQ,辺OCをx:1-xに内分する点をRとおく.ただし,0<x<1とする.次の問に答えよ.(1)ベクトルOAとベクトルOBの内積を求めよ.(2)ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき,ベクトルQP,ベクトルQRをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,xを用いて表せ.(3)∠PQR=90°であるとき,xの値を求めよ.(4)∠PQR=90°であるとき,△PQRの面積を求めよ.](./thumb/263/2243/2013_3.png)
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$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$について,辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$,辺$\mathrm{OC}$を$x:1-x$に内分する点を$\mathrm{R}$とおく.ただし,$0<x<1$とする.次の問に答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$,$x$を用いて表せ.
(3) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき,$x$の値を求めよ.
(4) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$,$x$を用いて表せ.
(3) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき,$x$の値を求めよ.
(4) $\angle \mathrm{PQR}=90^\circ$であるとき,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ.
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