以下の各問いに答えよ．
(1) $e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．
(ⅰ) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(ⅲ) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．
(2) $0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．
(ⅰ) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ⅱ) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(ⅲ) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．