福島県立医科大学
2013年 医学部 第3問
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$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする．また，平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．
(1) $S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2) $(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3) $V$の体積を求めよ．
(1) $S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2) $(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3) $V$の体積を求めよ．
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