福島県立医科大学
2013年 医学部 第2問
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一辺の長さが$8$である正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があって，$\mathrm{AD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=5$を満たしている．$\triangle \mathrm{DEF}$の重心$\mathrm{G}$を通り$\triangle \mathrm{DEF}$を含む平面に垂直な直線が，$\triangle \mathrm{ABC}$を含む平面と交わる点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，以下の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3) 四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3) 四面体$\mathrm{DEFH}$の体積を求めよ．
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