$a$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-a \cos x}{1+\sin x} \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle t=\frac{-\cos x}{1+\sin x} \ \ (0<x<\pi)$とおくとき，$\displaystyle \frac{dx}{dt}$を$t$で表せ．
(2) $f(x)$が$0<x<\pi$の範囲で極値をもつように$a$の値の範囲を定めよ．また，その極値を$a$で表せ．
(3) $a$が$(2)$で定めた範囲にあるとき，$2$点$(0,\ f(0))$，$(\pi,\ f(\pi))$を通る直線と$y=f(x)$のグラフで囲まれる図形を$x$軸の周りに回転してできる回転体の体積を$a$で表せ．