早稲田大学
2012年 商学部 第3問
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平面上に点$\mathrm{O},\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \cdots,\ \mathrm{A}_{100}$がある.ただし,同じ点があってもよい.また,平面上の点$\mathrm{P}$に対して,
\[ f(P) = \sum_{i=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{PA}}_i|^2 \]
とする.また,$f(\mathrm{P})$の最小値を$m$とし,平面上の点$\mathrm{C}$は$f(\mathrm{C})=m$を満たすとする.
このとき,次の設問に答えよ.
(1) $\overrightarrow{a_i}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}_i \ \ (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 100)$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a_i}$を用いて表せ.
(2) 次の条件 \[ (\ast) \qquad \sum_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_i \mathrm{A}_j}|^2 \right) = \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_j}|^2 + \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_j}|^2 + \cdots+ \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_{100} \mathrm{A}_j}|^2=4000 \] が成立しているときの$m$の値を求めよ.
(3) (2)における条件$(\ast)$が成立しているとき,集合 \[ \left\{A_i \ \; \bigg| \ \; |\overrightarrow{\mathrm{CA}_i}| \geqq 2,\ 1 \leqq i \leqq 100,\ i \text{は整数} \right\} \] の要素の個数の最大値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{a_i}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}_i \ \ (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 100)$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a_i}$を用いて表せ.
(2) 次の条件 \[ (\ast) \qquad \sum_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_i \mathrm{A}_j}|^2 \right) = \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_j}|^2 + \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_j}|^2 + \cdots+ \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_{100} \mathrm{A}_j}|^2=4000 \] が成立しているときの$m$の値を求めよ.
(3) (2)における条件$(\ast)$が成立しているとき,集合 \[ \left\{A_i \ \; \bigg| \ \; |\overrightarrow{\mathrm{CA}_i}| \geqq 2,\ 1 \leqq i \leqq 100,\ i \text{は整数} \right\} \] の要素の個数の最大値を求めよ.
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