豊橋技術科学大学
2015年 工学部 第2問
2
2
図$1$が示すように,平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$がある.ただし,$\mathrm{O}$は原点であり,他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする.媒介変数$t \ \ (0 \leqq t \leqq 1)$を用いて,線分$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$とする.同様に,線分$\mathrm{EF}$,$\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}$,$\mathrm{I}$とする.さらに,線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし,$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする(図$1$参照).以下の問いに答えよ.
\imgc{410_1079_2015_1}
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ.
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ.
(3) 特殊な条件として,一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$を配置する.さらに,中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする.線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍($0 \leqq s \leqq 1$)である.このとき,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を表せ.
(4) $(3)$において,$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき,点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ.
(1) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ.
(2) $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ.
(3) 特殊な条件として,一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$を配置する.さらに,中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$,$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする.線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍($0 \leqq s \leqq 1$)である.このとき,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を表せ.
(4) $(3)$において,$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき,点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ.
関連問題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。