東京農工大学
2013年 理系 第3問
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次の問いに答えよ.
(1) $f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする.ただし,対数は自然対数とする.
(ⅰ) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(ⅱ) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(2) $\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする.
(ⅰ) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて,$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ.
(ⅱ) $2$個のさいころを同時に投げるとき,出る目の数の和を$N$とする.このとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする.$T$の期待値を求めよ.
(1) $f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とする.ただし,対数は自然対数とする.
(ⅰ) $f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(ⅱ) 直線$y=x$と直線$\displaystyle x=\frac{3}{4}$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(2) $\displaystyle \alpha=\frac{2}{5}\pi$とする.
(ⅰ) $\cos 3\alpha=\cos 2\alpha$が成り立つことを用いて,$\cos \alpha$と$\cos 2\alpha$の値を求めよ.
(ⅱ) $2$個のさいころを同時に投げるとき,出る目の数の和を$N$とする.このとき,座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3})$を原点$\mathrm{O}$のまわりに角$N \alpha$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積を$T$とする.$T$の期待値を求めよ.
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