新潟大学
2012年 理系 第5問
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![次の問いに答えよ.(1)実数x≧0に対して,次の不等式が成り立つことを示せ.x-1/2x^2≦log(1+x)≦x(2)数列{a_n}をa_n=n^2∫_0^{1/n}log(1+x)dx(n=1,2,3,・・・)によって定めるとき,\lim_{n→∞}a_nを求めよ.(3)数列{b_n}をb_n=Σ_{k=1}^nlog(1+\frac{k}{n^2})(n=1,2,3,・・・)によって定めるとき,\lim_{n→∞}b_nを求めよ.](./thumb/337/2371/2012_5.png)
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次の問いに答えよ.
(1) 実数$x \geqq 0$に対して,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(3) 数列$\{b_n\}$を \[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ.
(1) 実数$x \geqq 0$に対して,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ x-\frac{1}{2}x^2 \leqq \log (1+x) \leqq x \]
(2) 数列$\{a_n\}$を \[ a_n=n^2 \int_0^{\frac{1}{n}} \log (1+x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(3) 数列$\{b_n\}$を \[ b_n=\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n^2} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定めるとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ.
類題(関連度順)
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