京都薬科大学
2016年 薬学部 第1問
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次の$\fbox{}$にあてはまる数または式を記入せよ.ただし,$\fbox{コ}$においては,$\fbox{コ}$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ.
(1) $2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 \ \ (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$\fbox{ア}<R<\fbox{イ}$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると \[ \cos \angle \mathrm{OPA}=\fbox{ウ} \] が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=\fbox{エ}$のときである.
(2) $x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 \ \ (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$\fbox{オ}<\theta<\fbox{カ}$および$\fbox{キ}<\theta<\fbox{ク}$である.
(3) $p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=\fbox{ケ}$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$\fbox{コ}$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=\fbox{サ} \pm \fbox{シ}$となる.
(4) $1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ \maruichi$を考える.$2$次方程式$\maruichi$が実数解を持たない確率は$\fbox{ス}$である.$2$次方程式$\maruichi$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$\fbox{セ}$である.$2$次方程式$\maruichi$の解が$2$つとも自然数になる確率は$\fbox{ソ}$である.
(5) $3^{10}={10}^x$となる$x$は$\fbox{タ}$である.よって,$3^{10}$は$\fbox{チ}$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$\fbox{ツ}$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
(1) $2$つの円$x^2+y^2=1$,$(x-2)^2+y^2=R^2 \ \ (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$\fbox{ア}<R<\fbox{イ}$が成立するときである.このとき,$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき,交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると \[ \cos \angle \mathrm{OPA}=\fbox{ウ} \] が成立するので,$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=\fbox{エ}$のときである.
(2) $x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 \ \ (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は,$\fbox{オ}<\theta<\fbox{カ}$および$\fbox{キ}<\theta<\fbox{ク}$である.
(3) $p$と$q$を正の整数とするとき,$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする.これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき,$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には,関係式$r^2=\fbox{ケ}$が成り立つ.したがって,もし$r$が整数ならば,$r$は$\fbox{コ}$($\mathrm{A}:$偶数,$\mathrm{B}:$奇数)である.このとき,$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=\fbox{サ} \pm \fbox{シ}$となる.
(4) $1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とし,$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ \maruichi$を考える.$2$次方程式$\maruichi$が実数解を持たない確率は$\fbox{ス}$である.$2$次方程式$\maruichi$が実数解を持つとき,それが重解である条件付き確率は$\fbox{セ}$である.$2$次方程式$\maruichi$の解が$2$つとも自然数になる確率は$\fbox{ソ}$である.
(5) $3^{10}={10}^x$となる$x$は$\fbox{タ}$である.よって,$3^{10}$は$\fbox{チ}$桁の$10$進数である.同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと,$\fbox{ツ}$桁である.ただし,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}5=0.6990$とする.
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