愛媛大学
2015年 理学部・工学部 第4問
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$n$を自然数とし,曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n}$と円$x^2+y^2=1$の第$1$象限における交点の座標を$(p_n,\ q_n)$とする.
(1) $x>0$のとき,不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ.
(2) 不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ.
(3) $0 \leqq x \leqq 1$のとき,不等式 \[ (\ast) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \] が成り立つことを利用して,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ.
(ⅱ) $x$軸,直線$x=p_n$,および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} \ \ (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき,$S_n$を$p_n$を用いて表せ.また,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ.
(4) $0 \leqq x \leqq 1$のとき,$(3)$の不等式$(\ast)$が成り立つことを示せ.
(1) $x>0$のとき,不等式$\displaystyle n \sin \frac{x}{n}<x$が成り立つことを示せ.
(2) 不等式$\displaystyle p_n>\frac{1}{\sqrt{2}}$が成り立つことを示せ.
(3) $0 \leqq x \leqq 1$のとき,不等式 \[ (\ast) \quad \left( n \sin \frac{1}{n} \right) x \leqq n \sin \frac{x}{n} \] が成り立つことを利用して,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 不等式$\displaystyle p_n \leqq \frac{1}{\sqrt{1+n^2 \sin^2 \displaystyle\frac{1}{n}}}$が成り立つことを示せ.
(ⅱ) $x$軸,直線$x=p_n$,および曲線$\displaystyle y=n \sin \frac{x}{n} \ \ (0 \leqq x \leqq p_n)$で囲まれた領域の面積を$S_n$とするとき,$S_n$を$p_n$を用いて表せ.また,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ.
(4) $0 \leqq x \leqq 1$のとき,$(3)$の不等式$(\ast)$が成り立つことを示せ.
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コメント(2件)
2015-07-23 05:06:16
作りました。 |
2015-07-20 22:55:45
解答お願いします |
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